分治算法

分治法的设计思想是:将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。

   分治策略是:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

   如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。

 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:

    1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

    2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。

    3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;

    4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;

第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法

第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好

分治法在每一层递归上都有三个步骤:

    step1 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;

    step2 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题

    step3 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。

可使用分治法求解的一些经典问题
 (1)二分搜索(2)大整数乘法 (3)Strassen矩阵乘法(4)棋盘覆盖(5)合并排序(6)快速排序(7)线性时间选择
(8)最接近点对问题(9)循环赛日程表(10)汉诺塔

例如:

求最大连续和:

给出一个长度为n的序列A1,A2,A3·····An,求最大连续和。如序列(6,-1 , 5, 4,-7), 该序列中的最大和是6 +( – 1)+ 5 + 4 = 14。

思路分析:

基本思路是使用枚举法,三重嵌套循环,时间复杂度为n的三次方

我们来用分治法解决这个问题

1.划分问题:将序列分成元素个数尽可能相等的两半。

2.递归求解:分别求出位于左半和右半的最佳序列。

3.合并问题:求出起点位于左半,终点位于右半的最大连续和序列,和子问题最优解比较。

int maxsum(int l,int r){
if(l==r)return a[l];
int m=(l+r)/2;
int Max=max(maxsum(l,m),maxsum(m+1,r));//(分解)情况1:完全在左区间,或者完全在右区间

//(合并)情况2:横跨左右两个区间
int suml=a[m],t=0;
for(int i=m;i>=l;i--)
    suml=max(suml,t+=a[i]);
int sumr=a[m+1];t=0;
for(int i=m+1;i<=r;i++)
    sumr=max(sumr,t+=a[i]);

return max(Max,suml+sumr);//取两种情况中最大的

}

给你一个由数字和运算符组成的字符串 expression ,按不同优先级组合数字和运算符,计算并返回所有可能组合的结果。你可以 按任意顺序 返回答案。

输入:expression = "2-1-1"
输出:[0,2]
解释:
((2-1)-1) = 0 
(2-(1-1)) = 2

解题思路

对于一个形如 x op yop 为运算符,x 和 y 为数) 的算式而言,它的结果组合取决于 x 和 y 的结果组合数,而 x 和 y 又可以写成形如 x op y 的算式。

因此,该问题的子问题就是 x op y 中的 x 和 y以运算符分隔的左右两侧算式解

然后我们来进行 分治算法三步走

  1. 分解:按运算符分成左右两部分,分别求解
  2. 解决:实现一个递归函数,输入算式,返回算式解
  3. 合并:根据运算符合并左右两部分的解,得出最终解
class Solution:
    def diffWaysToCompute(self, input: str) -> List[int]:
        # 如果只有数字,直接返回
        if input.isdigit():
            return [int(input)]

        res = []
        for i, char in enumerate(input):
            if char in ['+', '-', '*']:
                # 1.分解:遇到运算符,计算左右两侧的结果集
                # 2.解决:diffWaysToCompute 递归函数求出子问题的解
                left = self.diffWaysToCompute(input[:i])
                right = self.diffWaysToCompute(input[i+1:])
                # 3.合并:根据运算符合并子问题的解
                for l in left:
                    for r in right:
                        if char == '+':
                            res.append(l + r)
                        elif char == '-':
                            res.append(l - r)
                        else:
                            res.append(l * r)

        return res

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