分治法的设计思想是:将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
分治策略是:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;
第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。
分治法在每一层递归上都有三个步骤:
step1 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;
step2 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
step3 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
可使用分治法求解的一些经典问题
(1)二分搜索(2)大整数乘法 (3)Strassen矩阵乘法(4)棋盘覆盖(5)合并排序(6)快速排序(7)线性时间选择
(8)最接近点对问题(9)循环赛日程表(10)汉诺塔
例如:
求最大连续和:
给出一个长度为n的序列A1,A2,A3·····An,求最大连续和。如序列(6,-1 , 5, 4,-7), 该序列中的最大和是6 +( – 1)+ 5 + 4 = 14。
思路分析:
基本思路是使用枚举法,三重嵌套循环,时间复杂度为n的三次方
我们来用分治法解决这个问题
1.划分问题:将序列分成元素个数尽可能相等的两半。
2.递归求解:分别求出位于左半和右半的最佳序列。
3.合并问题:求出起点位于左半,终点位于右半的最大连续和序列,和子问题最优解比较。
int maxsum(int l,int r){
if(l==r)return a[l];
int m=(l+r)/2;
int Max=max(maxsum(l,m),maxsum(m+1,r));//(分解)情况1:完全在左区间,或者完全在右区间
//(合并)情况2:横跨左右两个区间
int suml=a[m],t=0;
for(int i=m;i>=l;i--)
suml=max(suml,t+=a[i]);
int sumr=a[m+1];t=0;
for(int i=m+1;i<=r;i++)
sumr=max(sumr,t+=a[i]);
return max(Max,suml+sumr);//取两种情况中最大的
}
给你一个由数字和运算符组成的字符串 expression
,按不同优先级组合数字和运算符,计算并返回所有可能组合的结果。你可以 按任意顺序 返回答案。
输入:expression = "2-1-1"
输出:[0,2]
解释:
((2-1)-1) = 0
(2-(1-1)) = 2
解题思路
对于一个形如 x op y
(op
为运算符,x
和 y
为数) 的算式而言,它的结果组合取决于 x
和 y
的结果组合数,而 x
和 y
又可以写成形如 x op y
的算式。
因此,该问题的子问题就是 x op y
中的 x
和 y
:以运算符分隔的左右两侧算式解。
然后我们来进行 分治算法三步走:
- 分解:按运算符分成左右两部分,分别求解
- 解决:实现一个递归函数,输入算式,返回算式解
- 合并:根据运算符合并左右两部分的解,得出最终解
class Solution:
def diffWaysToCompute(self, input: str) -> List[int]:
# 如果只有数字,直接返回
if input.isdigit():
return [int(input)]
res = []
for i, char in enumerate(input):
if char in ['+', '-', '*']:
# 1.分解:遇到运算符,计算左右两侧的结果集
# 2.解决:diffWaysToCompute 递归函数求出子问题的解
left = self.diffWaysToCompute(input[:i])
right = self.diffWaysToCompute(input[i+1:])
# 3.合并:根据运算符合并子问题的解
for l in left:
for r in right:
if char == '+':
res.append(l + r)
elif char == '-':
res.append(l - r)
else:
res.append(l * r)
return res