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傅里叶变换的作用：
对于数字图像这种离散的信号，频率大小表示信号变换的剧烈程度或者说信号变化的快慢。频率越大，变换越剧烈，频率越小，信号越平缓，对应到的图像中，高频信号往往是图像中的边缘信号和噪声信号，而低频信号包含图像变化频繁的图像轮廓及背景灯信号。
需要说明的是：傅里叶变换得到的频谱图上的点与原图像上的点之间不存在一一对应的关系。
1，图像经过二维傅里叶的变换后，其变换稀疏矩阵具有如下性质：若交换矩阵原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换稀疏矩阵的中心附近。若所用的二维傅里叶变换矩阵的云巅设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。
2，图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘，轮廓处都是灰度变换突变区域，他们都具有变换后的高频分量特征。
右边为频率分布图谱，其中越靠近中心位置频率越低，越亮（灰度值越高）的位置代表该频率的信息振幅越大。
右边图中，每一个点：
1）它到中点的距离描述的是频率
2）中点到它的方向，是平面波的方向
3）那一点的灰度值描述的是它的幅值
OpenCV中的傅里叶变换
OpenCV为此提供了**cv.dft**()和**cv.idft**()函数。它返回与前一个相同的结果，但是有两个通道。第一个通道是结果的实部，第二个通道是结果的虚部。输入图像首先应转换为np.float32。我们来看看怎么做。
import numpy as np
import cv2 as cv
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv.imread('messi5.jpg',0)
dft = cv.dft(np.float32(img),flags = cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
magnitude_spectrum = 20*np.log(cv.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
现在我们要做DFT的逆变换。在上一节中，我们创建了一个HPF，这次我们将看到如何删除图像中的高频内容，即我们将LPF应用到图像中。它实际上模糊了图像。为此，我们首先创建一个高值(1)在低频部分，即我们过滤低频内容，0在高频区。
rows, cols = img.shape
crow,ccol = rows/2 , cols/2
# 首先创建一个掩码，中心正方形为1，其余全为零
mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1
# 应用掩码和逆DFT
fshift = dft_shift*mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv.idft(f_ishift)
img_back = cv.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1])
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()分水岭算法
图像的灰度空间很像地球表面的整个地理结构，每个像素的灰度值代表高度。其中的灰度值较大的像素连成的线可以看做山脊，也就是分水岭。其中的水就是用于二值化的gray threshold level，二值化阈值可以理解为水平面，比水平面低的区域会被淹没，刚开始用水填充每个孤立的山谷(局部最小值)。
当水平面上升到一定高度时，水就会溢出当前山谷，可以通过在分水岭上修大坝，从而避免两个山谷的水汇集，这样图像就被分成2个像素集，一个是被水淹没的山谷像素集，一个是分水岭线像素集。最终这些大坝形成的线就对整个图像进行了分区，实现对图像的分割。
在该算法中，空间上相邻并且灰度值相近的像素被划分为一个区域。
分水岭算法的整个过程：
- 把梯度图像中的所有像素按照灰度值进行分类，并设定一个测地距离阈值。
- 找到灰度值最小的像素点（默认标记为灰度值最低点），让threshold从最小值开始增长，这些点为起始点。
- 水平面在增长的过程中，会碰到周围的邻域像素，测量这些像素到起始点（灰度值最低点）的测地距离，如果小于设定阈值，则将这些像素淹没，否则在这些像素上设置大坝，这样就对这些邻域像素进行了分类。
4. 随着水平面越来越高，会设置更多更高的大坝，直到灰度值的最大值，所有区域都在分水岭线上相遇，这些大坝就对整个图像像素的进行了分区。
用上面的算法对图像进行分水岭运算，由于噪声点或其它因素的干扰，可能会得到密密麻麻的小区域，即图像被分得太细（over-segmented，过度分割），这因为图像中有非常多的局部极小值点，每个点都会自成一个小区域。
其中的解决方法：
- 对图像进行高斯平滑操作，抹除很多小的最小值，这些小分区就会合并。
- 不从最小值开始增长，可以将相对较高的灰度值像素作为起始点（需要用户手动标记），从标记处开始进行淹没，则很多小区域都会被合并为一个区域，这被称为基于图像标记(mark)的分水岭算法。
OpenCV中分水岭算法
在OpenCV中，我们需要给不同区域贴上不同的标签。用大于1的整数表示我们确定为前景或对象的区域，用1表示我们确定为背景或非对象的区域，最后用0表示我们无法确定的区域。然后应用分水岭算法，我们的标记图像将被更新，更新后的标记图像的边界像素值为-1。
下面对相互接触的硬币应用距离变换和分水岭分割。
先使用 Otsu’s 二值化对图像进行二值化。
import cv2
import numpy as np
img = cv2.imread('coins.png')
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
ret, thresh = cv2.threshold(gray, 0, 255, cv2.THRESH_BINARY_INV+cv2.THRESH_OTSU)
先使用开运算去除图像中的细小白色噪点，然后通过腐蚀运算移除边界像素，得到的图像中的白色区域肯定是真实前景，即靠近硬币中心的区域（下面左边的图）；膨胀运算使得一部分背景成为了物体到的边界，得到的图像中的黑色区域肯定是真实背景，即远离硬币的区域（下面中间的图）。
剩下的区域（硬币的边界附近）还不能确定是前景还是背景。可通过膨胀图减去腐蚀图得到，下图中的白色部分为不确定区域（下面右边的图）。
# noise removal
kernel = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_RECT, (3,3))
opening = cv2.morphologyEx(thresh, cv2.MORPH_OPEN, kernel, iterations=2)
sure_bg = cv2.dilate(opening, kernel, iterations=2) # sure background area
sure_fg = cv2.erode(opening, kernel, iterations=2) # sure foreground area
unknown = cv2.subtract(sure_bg, sure_fg) # unknown area
剩下的区域不确定是硬币还是背景，这些区域通常在前景和背景接触的区域(或者两个不同硬币接触的区域)，我们称之为边界。通过分水岭算法应该能找到确定的边界。
由于硬币之间彼此接触，我们使用另一个确定前景的方法，就是带阈值的距离变换。
下面左边的图为得到的距离转换图像，其中每个像素的值为其到最近的背景像素（灰度值为0）的距离，可以看到硬币的中心像素值最大（中心离背景像素最远）。对其进行二值处理就得到了分离的前景图（下面中间的图），白色区域肯定是硬币区域，而且还相互分离，下面右边的图为之前的膨胀图减去中间这个表示前景的图。
# Perform the distance transform algorithm
dist_transform = cv2.distanceTransform(opening, cv2.DIST_L2, 5)
# Normalize the distance image for range = {0.0, 1.0}
cv2.normalize(dist_transform, dist_transform, 0, 1.0, cv2.NORM_MINMAX)
# Finding sure foreground area
ret, sure_fg = cv2.threshold(dist_transform, 0.5*dist_transform.max(), 255, 0)
# Finding unknown region
sure_fg = np.uint8(sure_fg)
unknown = cv2.subtract(sure_bg,sure_fg)
现在我们可以确定哪些是硬币区域，哪些是背景区域。然后创建标记(marker，它是一个与原始图像大小相同的矩阵，int32数据类型)，表示其中的每个区域。分水岭算法将标记的0的区域视为不确定区域，将标记为1的区域视为背景区域，将标记大于1的正整数表示我们想得到的前景。
我们可以使用 cv2.connectedComponents() 来实现这个功能，它是用0标记图像的背景，用大于0的整数标记其他对象。所以我们需要对其进行加一，用1来标记图像的背景。
cv2.connectedComponents() 将传入图像中的白色区域视为组件（前景）。
# Marker labelling
ret, markers = cv2.connectedComponents(sure_fg)
# Add one to all labels so that sure background is not 0, but 1
markers = markers+1
# Now, mark the region of unknown with zero
markers[unknown==255] = 0注意：得到的markers矩阵的元素类型为 int32，要使用 imshow() 进行显示，需要将其转换为 uint8 类型（ markers=np.uint8(markers) ）。
我们对得到的markers进行显示：
markers_copy = markers.copy()
markers_copy[markers==0] = 150 # 灰色表示背景
markers_copy[markers==1] = 0 # 黑色表示背景
markers_copy[markers>1] = 255 # 白色表示前景
markers_copy = np.uint8(markers_copy)
标记图像已经完成了，最后应用分水岭算法。然后标记图像将被修改，边界区域将被标记为-1。
# 使用分水岭算法执行基于标记的图像分割，将图像中的对象与背景分离
markers = cv2.watershed(img, markers)
img[markers==-1] = [0,0,255] # 将边界标记为红色经过分水岭算法得到的新的标记图像和分割后的图像如下图所示：
任何两个相邻连接的组件不一定被分水岭边界(-1的像素)分开；例如在传递给 watershed 函数的初始标记图像中的物体相互接触。
总结
我们通过一个例子介绍了分水岭算法的整个过程，主要分为以下几步：
- 对图进行灰度化和二值化得到二值图像
- 通过膨胀得到确定的背景区域，通过距离转换得到确定的前景区域，剩余部分为不确定区域
- 对确定的前景图像进行连接组件处理，得到标记图像
- 根据标记图像对原图像应用分水岭算法，更新标记图像
参考：