参考：https://www.zhangzhenhu.com/aigc/Guidance.html

无论是 DDPM 还是 DDIM，这些扩散模型在生成图片时，都是输入一个随机高斯噪声数据， 然后逐步的产出一张有意的真实图片。这个过程中每一步都是一个随机过程，所以每次执行产出的图片都不一样， 生成的图像多样性非常好。 但这也是一个缺点：生成的图像不可控，无法控制这个生成过程并令其生成我们想要的图像内容。

鉴于此，很多研究中在如何控制图像生成过程方面提出了很多有效的方案。 直觉的讲，我们可以在扩散过程中引入额外的信息来指导或者说控制整个扩散模型， 假设这个额外的信息为 y，它可以是一段文本、一张图片或者图像的类别标签。 引入 y 之后的模型就变成了一个以 y 为条件的条件概率分布。

自然而然地，接下来就需要探讨，引入y 之后对前向扩散过程和逆向采用过程分别有什么影响，需要做出什么调整。 首先看下对前向扩散过程的影响，先说结论：引入 y 之后，对前向扩散过程没有任何影响。 其实，从直觉上讲，前向扩散过程是对原始图片加噪声，直至变成纯噪声，这个过程显然与 y没有任何关系。 但做研究要严谨，还是需要给出数学证明的。 证明过程在论文 1 中已经给出。

条件扩散模型的前向过程与非条件扩散模型的前向过程完全一样。

1、classifier guidance

OpenAI 的团队在 2021 年发表一篇论文 1 : A. Diffusion models beat gans on image synthesis ，在这篇论文中，提出一种利用图片类别标签指导图像生成的方案，称为 classifier guidance， 通过这种改进使扩散模型生成图像的质量大幅提升，并在 IS 和 FID 评分上超过了 GAN 模型， 所以你看论文的名字，简单直接。

论文的源码在： https://github.com/openai/guided-diffusion 。

实际上这篇论文做了很多改进，比如对UNET也做了改进。但这里我们只关注 guidance 部分。 原论文的推导过程比较繁杂，这里我们采用另一篇文章 2 的推导方案， 直接从 score function 的角度去理解。

虽然引入 classifier guidance 效果很明显，但缺点也很明显：

1. 需要额外一个分类器模型，极大增加了成本，包括训练成本和采样成本。
2. 分类器的类别毕竟是有限集，不能涵盖全部情况，对于没有覆盖的标签类别会很不友好

后来《More Control for Free! Image Synthesis with Semantic Diffusion Guidance》推广了“Classifier”的概念，使得它也可以按图、按文来生成。Classifier-Guidance方案的训练成本比较低（熟悉NLP的读者可能还会想起与之很相似的PPLM模型），但是推断成本会高些，而且控制细节上通常没那么到位。

2、Classifier-free guidance

引导函数的方法存在一些问题：1）额外的计算量比较多；2）引导函数和扩散模型分别进行训练，不利于进一步扩增模型规模，不能够通过联合训练获得更好的效果。

• 提出了一个等价的结构替换了外部的classifier，从而可以直接使用一个扩散模型来做条件生成任务。

实际做法只是改变了模型输入的内容，有conditional(随机高斯噪声+引导信息的embedding)和unconditional两种采样输入。两种输入都会被送到同一个diffusion model，从而让其能够具有无条件和有条件生成的能力。

3、CLIP Guidance

Radford, A., Kim, J. W., Hallacy, C., Ramesh, A., Goh, G., Agarwal, S., Sastry, G., Askell, A., Mishkin, P., Clark, J., Krueger, G., and Sutskever, I. Learning transferable visual models from natural language supervision. arXiv:2103.00020, 2021

Prafulla Dhariwal and Alex Nichol. Diffusion models beat gans on image synthesis. 2021. arXiv:2105.05233.[2](1,2)

Calvin Luo. Understanding diffusion models: a unified perspective. 2022. arXiv:2208.11970.[3]

Jonathan Ho and Tim Salimans. Classifier-free diffusion guidance. 2022. arXiv:2207.12598.[4]

Alex Nichol, Prafulla Dhariwal, Aditya Ramesh, Pranav Shyam, Pamela Mishkin, Bob McGrew, Ilya Sutskever, and Mark Chen. Glide: towards photorealistic image generation and editing with text-guided diffusion models. 2022. arXiv:2112.10741.[5]

Aditya Ramesh, Prafulla Dhariwal, Alex Nichol, Casey Chu, and Mark Chen. Hierarchical text-conditional image generation with clip latents. 2022. arXiv:2204.06125.[6]

Chitwan Saharia, William Chan, Saurabh Saxena, Lala Li, Jay Whang, Emily Denton, Seyed Kamyar Seyed Ghasemipour, Burcu Karagol Ayan, S. Sara Mahdavi, Rapha Gontijo Lopes, Tim Salimans, Jonathan Ho, David J Fleet, and Mohammad Norouzi. Photorealistic text-to-image diffusion models with deep language understanding. 2022. arXiv:2205.11487.

Paper: https://arxiv.org/abs/2010.02502

Code: https://github.com/ermongroup/ddim

摘自：扩散模型之DDIM

在 DDPM 中，生成过程被定义为马尔可夫扩散过程的反向过程，在逆向采样过程的每一步，模型预测噪声

DDIM 的作者发现，扩散过程并不是必须遵循马尔科夫链， 在之后的基于分数的扩散模型以及基于随机微分等式的理论都有相同的结论。 基于此，DDIM 的作者重新定义了扩散过程和逆过程，并提出了一种新的采样技巧， 可以大幅减少采样的步骤，极大的提高了图像生成的效率，代价是牺牲了一定的多样性， 图像质量略微下降，但在可接受的范围内。

对于扩散模型来说，一个最大的缺点是需要设置较长的扩散步数才能得到好的效果，这导致了生成样本的速度较慢，比如扩散步数为1000的话，那么生成一个样本就要模型推理1000次。这篇文章我们将介绍另外一种扩散模型DDIM（Denoising Diffusion Implicit Models），DDIM和DDPM有相同的训练目标，但是它不再限制扩散过程必须是一个马尔卡夫链，这使得DDIM可以采用更小的采样步数来加速生成过程，DDIM的另外是一个特点是从一个随机噪音生成样本的过程是一个确定的过程（中间没有加入随机噪音）。

前提条件：1.马尔可夫过程。2.微小噪声变化。

步骤一：在DDPM中我们基于初始图像状态以及最终高斯噪声状态，通过贝叶斯公式以及多元高斯分布的散度公式，可以计算出每一步骤的逆向分布。之后继续重复上述对逆向分布的求解步骤，最终实现从纯高斯噪声，恢复到原始图片的步骤。

步骤二：模型优化部分通过最小化分布的交叉熵，预测出模型逆向分布的均值和方差，将其带入步骤一中的推理过程即可。

文章中存在的一个核心问题是：由于1.每个步骤都是马尔可夫链。2.每次加特征的均值和方差都需要控制在很小的范围下。因此我们不得不每一步都进行逆向的推理和运算，导致模型整体耗时很长。本文核心针对耗时问题进行优化，一句话总结：在满足DDPM中逆向推理的条件下，找到一种用 xt 和 x0 表达 xt−1 且能能大幅减少计算量的推理方式。

代码实现：

DDIM和DDPM的训练过程一样，所以可以直接在DDPM的基础上加一个新的生成方法（这里主要参考了DDIM官方代码以及diffusers库），具体代码如下所示：

class GaussianDiffusion:
    def __init__(self, timesteps=1000, beta_schedule='linear'):
     pass

    # ...
        
 # use ddim to sample
    @torch.no_grad()
    def ddim_sample(
        self,
        model,
        image_size,
        batch_size=8,
        channels=3,
        ddim_timesteps=50,
        ddim_discr_method="uniform",
        ddim_eta=0.0,
        clip_denoised=True):
        # make ddim timestep sequence
        if ddim_discr_method == 'uniform':
            c = self.timesteps // ddim_timesteps
            ddim_timestep_seq = np.asarray(list(range(0, self.timesteps, c)))
        elif ddim_discr_method == 'quad':
            ddim_timestep_seq = (
                (np.linspace(0, np.sqrt(self.timesteps * .8), ddim_timesteps)) ** 2
            ).astype(int)
        else:
            raise NotImplementedError(f'There is no ddim discretization method called "{ddim_discr_method}"')
        # add one to get the final alpha values right (the ones from first scale to data during sampling)
        ddim_timestep_seq = ddim_timestep_seq + 1
        # previous sequence
        ddim_timestep_prev_seq = np.append(np.array([0]), ddim_timestep_seq[:-1])
        
        device = next(model.parameters()).device
        # start from pure noise (for each example in the batch)
        sample_img = torch.randn((batch_size, channels, image_size, image_size), device=device)
        for i in tqdm(reversed(range(0, ddim_timesteps)), desc='sampling loop time step', total=ddim_timesteps):
            t = torch.full((batch_size,), ddim_timestep_seq[i], device=device, dtype=torch.long)
            prev_t = torch.full((batch_size,), ddim_timestep_prev_seq[i], device=device, dtype=torch.long)
            
            # 1. get current and previous alpha_cumprod
            alpha_cumprod_t = self._extract(self.alphas_cumprod, t, sample_img.shape)
            alpha_cumprod_t_prev = self._extract(self.alphas_cumprod, prev_t, sample_img.shape)
    
            # 2. predict noise using model
            pred_noise = model(sample_img, t)
            
            # 3. get the predicted x_0
            pred_x0 = (sample_img - torch.sqrt((1. - alpha_cumprod_t)) * pred_noise) / torch.sqrt(alpha_cumprod_t)
            if clip_denoised:
                pred_x0 = torch.clamp(pred_x0, min=-1., max=1.)
            
            # 4. compute variance: "sigma_t(η)" -> see formula (16)
            # σ_t = sqrt((1 − α_t−1)/(1 − α_t)) * sqrt(1 − α_t/α_t−1)
            sigmas_t = ddim_eta * torch.sqrt(
                (1 - alpha_cumprod_t_prev) / (1 - alpha_cumprod_t) * (1 - alpha_cumprod_t / alpha_cumprod_t_prev))
            
            # 5. compute "direction pointing to x_t" of formula (12)
            pred_dir_xt = torch.sqrt(1 - alpha_cumprod_t_prev - sigmas_t**2) * pred_noise
            
            # 6. compute x_{t-1} of formula (12)
            x_prev = torch.sqrt(alpha_cumprod_t_prev) * pred_x0 + pred_dir_xt + sigmas_t * torch.randn_like(sample_img)

            sample_img = x_prev
            
        return sample_img.cpu().numpy()

这里以MNIST数据集为例，训练的扩散步数为500，直接采用DDPM（即推理500次）生成的样本如下所示：

同样的模型，我们采用DDIM来加速生成过程，这里DDIM的采样步数为50，其生成的样本质量和500步的DDPM相当：

完整的代码示例见https://github.com/xiaohu2015/nngen。

其它：重建和插值

如果从直观上看，DDIM的加速方式非常简单，直接采样一个子序列，其实论文DDPM+也采用了类似的方式来加速。另外DDIM和其它扩散模型的一个较大的区别是其生成过程是确定性的。