早期的研究表明，对构建的网络进行剪枝和量化在降低网络复杂性以及解决过拟合问题方面是有效的（Gong et al. 2014）。同剪枝与量化有关的方法可以进一步分为三个子类：量化与二值化（quantization and binarization）、网络剪枝（network pruning）、结构矩阵（structural matrix）。
1.量化与二值化（quantization and binarization）
在DNN中，权重通常是以32位浮点数的形式（即32-bit）进行存储，量化法则是通过减少表示每个权重需要的比特数（the number of bits）来压缩原始网络。此时权重可以量化为16-bit、8-bit、4-bit甚至是1-bit（这是量化的一种特殊情况，权重仅用二进制表示，称为权重二值化）。8-bit的参数量化已经可以在损失小部分准确率的同时实现大幅度加速（Vanhoucke et al. 2011）。图2展示了基于修剪、量化和编码三个过程的压缩法：首先修剪小权重的连接，然后使用权重共享来量化权重，最后将哈夫曼编码应用于量化后的权重和码本上。
其中, x1、x2、x3 是网络的输入, wijl 是从当前层中节点 i 的层 l 到下一层中的节点 j 的权重。从图3（a）可以清楚地看出，目前总共有8个连接权重，如果删除两个橙色（虚线）的连接，那么总连接权重将减少到6个。类似地，从图3（b）中，如果移除红色神经元，那么其所有相关的连接权重（虚线）也将被移除，导致总连接权重减少到4个（参数数量减少50%）。
在卷积层上剪枝: 在卷积神经网络中, 卷积核 W∈Rh×w×ic×f 应用于每个输入的图像 I,I∈Rm×n×ic, 并且经过卷积操作后输出特征映射 T,T∈Rp×q×f 。其中, h 和 w 是卷积核的尺寸, ic 是输入图像中输入通道的数量, f 是应用的卷积核 的数量, m 和 n 是输入图像的尺寸, p 和 q 是结果特征映射的输出尺寸。输出特征映射的形状计算如下:
其中, s 为步长 (stride)， p 为填充（padding）。图4显示了最简单的CNN形式，其 中输入图像的大小为 4×4×3, 应用的卷积核大小为 3×3×3×2 (2是卷积核的数 量)。
受到早期剪枝方法和神经网络过度参数化问题的启发，Han et al.（2015）提出了三步法来进行剪枝。其思想是，首先修剪激活小于某个预定义阈值的所有连接权重（不重要的连接），随后再识别那些重要的连接权重。最后，为了补偿由于修剪连接权重而导致的精度损失，再次微调/重新训练剪枝模型。这样的剪枝和再训练过程将重复数次，以减小模型的大小，将密集网络转换为稀疏网络。这种方法能够对全连接层和卷积层进行修剪，而且卷积层比全连接层对修剪更加敏感。
CP分解。该分解是Tucker分解的一种特殊形式。如果Tucker分解中的每个 ri 等于正 整数 rC, 并且核张量 K 满足, 除了 K(x1,x2,…,xd),x1=x2=⋯=xd 之外 的所有元素都是 0 , 此时Tucker分解就成为了CP分解。与Tucker分解相比, CP分解 常用于解释数据的组成成分, 而前者主要用于数据压缩。图7展示了三阶张量 x∈R(I×J×K) 被 R 个组成部分分解的过程, 这个过程也可以用如下的公式来表示, 其中, ar∈RI,br∈RJ,cr∈RK (Marcella Astrid and Seung- and Ik Lee 2018)。
Cohen and Welling (2016) 提出了使用卷积滤波器压缩CNN模型的想法, 并在 研究中引入了等变群理论 (the equivariant group theory)。让 x 作为输入, Φ(⋅) 作为 一个神经网络或者网络层, Γ(⋅) 作为迁移矩阵, 则等价的概念定义如下:Γ′(Φ(x))=Φ(Γ(x))
在现有的KD方法中，学生模型的学习依赖于教师模型，是一个两阶段的过程。Lan et al.（2018）提出了实时本地集成（On-the-fly Native Ensemble，ONE），这是一种高效的单阶段在线蒸馏学习方法。在训练期间，ONE添加辅助分支以创建目标网络的多分支变体，然后从所有分支中创建本地集成教师模型。对于相同的目标标签约束，可以同时学习学生和每个分支。每个分支使用两个损失项进行训练，其中最常用的就是最大交叉熵损失（softmax cross-entropy loss）和蒸馏损失（distillation loss）。
在网络压缩这一步，可以使用深度神经网络方法来解决这个问题。Romero et al.（2015）提出了一种训练薄而深的网络的方法，称为FitNets，用以压缩宽且相对较浅（但实际上仍然很深）的网络。该方法扩展了原来的思想，允许得到更薄、更深的学生模型。为了学习教师网络的中间表示，FitNet让学生模仿老师的完全特征图。然而，这样的假设太过于严格，因为教师和学生的能力可能会有很大的差别。
学生损失（student loss）定义为 ground truth 标签和学生模型的软对数之间的交叉熵：
代表交叉熵损失，y 是一个 ground truth 向量，其中只有一个元素为1，它表示转移训练样本的 ground truth 标签，其他元素为0。在蒸馏和学生损失中，两者均使用学生模型的相同 logit，但温度不同。温度在学生损失中为T = 1，在蒸馏损失中为T = t。最后，传统知识蒸馏的基准模型是蒸馏和学生损失的结合：
其中 x 是转移集上的训练输入，W是学生模型的参数，并且是调节参数。为了轻松理解知识蒸馏，下图显示了传统知识蒸馏与教师和学生模型联合的特定体系结构。在下图所示的知识蒸馏中，始终首先对教师模型进行预训练，然后再进行训练。仅使用来自预训练教师模型的软目标的知识来训练学生模型。实际上，这就是离线知识提炼与基于响应的知识。
he specific architecture of the benchmark knowledge distillation(Hinton et al., 2015)
为了探索不同特征图之间的关系，Yim等人。（2017）提出了一种解决方案流程（FSP），该流程由两层之间的Gram矩阵定义。FSP 矩阵总结了特征图对之间的关系。它是使用两层要素之间的内积来计算的。利用特征图之间的相关性作为蒸馏的知识，（Lee et al。，2018）提出了通过奇异值分解的知识蒸馏来提取特征图中的关键信息。为了利用多位教师的知识，Zhang和Peng（2018）分别以每个教师模型的 logits 和特征为节点，形成了两个图。具体来说，在知识转移之前，不同的教师的重要性和关系通过 logits 和表示图进行建模（Zhang and Peng，2018）。Lee and Song（2019）提出了基于多头图的知识蒸馏。图知识是通过多头注意力网络在任意两个特征图之间的内部数据关系。为了探索成对的提示信息，学生模型还模拟了教师模型的成对的提示层之间的互信息（Passalis等，2020b）。通常，基于特征图的关系的知识的蒸馏损失可以表示为：
传统的知识转移方法通常涉及个人知识的提炼。老师的软目标直接提炼给学生。实际上，提炼的知识不仅包含特征信息，还包含数据样本的相互关系。具体来说，刘等。（2019g）通过实例关系图提出了一种鲁棒而有效的知识提炼方法。实例关系图中传递的知识包含实例特征，实例关系和特征空间转换跨层。Park等。（2019）提出了一种关系知识蒸馏，该知识蒸馏了实例关系中的知识。基于流形学习的思想，通过特征嵌入来学习学生网络，这保留了教师网络中间层中样本的特征相似性（Chen等人，2020b）。使用数据的特征表示将数据样本之间的关系建模为概率分布（Passalis和Tefas，2018; Passalis等，2020a）。师生的概率分布与知识转移相匹配。（Tung and Mori，2019）提出了一种保留相似性的知识提炼方法。尤其是，将教师网络中输入对的相似激活所产生的保持相似性的知识转移到学生网络中，并保持成对相似性。Peng等。（2019a）提出了一种基于相关一致性的知识蒸馏方法，其中蒸馏的知识既包含实例级信息，又包含实例之间的相关性。使用关联一致性进行蒸馏，学生网络可以了解实例之间的关联。
在自我蒸馏中，教师和学生模型采用相同的网络。这可以视为在线蒸馏的特殊情况。具体来说，Zhang等。（2019b）提出了一种新的自蒸馏方法，其中将来自网络较深部分的知识蒸馏为浅层部分。与（Zhang et al。，2019b）中的自蒸馏相似，有人提出了一种自注意蒸馏方法进行车道检测（Hou et al。，2019）。该网络利用其自身层的注意力图作为其较低层的蒸馏目标。快照蒸馏（Yang et al。，2019b）是自我蒸馏的一种特殊变体，其中网络早期（教师）的知识被转移到其后期（学生）以支持在同一时期内的监督训练过程网络。为了进一步减少通过提前退出的推理时间，Phuong和Lampert（2019b）提出了基于蒸馏的训练方案，其中提前退出层尝试在训练过程中模仿后续退出层的输出。
另外，最近提出了一些有趣的自蒸馏方法。具体来说，袁等。提出了一种基于标签平滑规则化（label smoothing regularization）分析的无教师知识蒸馏方法（Yuan et al。，2020）。Hahn和Choi提出了一种新颖的自我知识蒸馏方法，其中自我知识由预测概率而不是传统的软概率组成（Hahn和Choi，2019）。这些预测的概率由训练模型的特征表示来定义。它们反映了特征嵌入空间中数据的相似性。Yun等。提出了分类自知识蒸馏，以匹配同一模型中同一来源内的类内样本和扩充样本之间的训练模型的输出分布（Yun et al。，2020）。此外，采用Lee等人（2019a）提出的自蒸馏进行数据增强，并将增强的自知性蒸馏为模型本身。还采用自我蒸馏中以一对一地优化具有相同架构的深度模型（教师或学生网络）（Furlanello等，2018; Bagherinezhad等，2018）。每个网络都使用教师优化来蒸馏先前网络的知识。
大型深层神经网络和小型学生神经网络之间的模型能力差距会降低知识转移的速度。为了有效地将知识转移到学生网络，已提出了多种方法来控制模型复杂度的可控降低。具体来说，Mirzadeh等。（2020）引入了助教来减轻教师模型和学生模型之间的训练差距。（Gao et al。，2020）通过残差学习进一步缩小了差距，即使用辅助结构来学习残差。另一方面，最近的几种方法也集中在最小化学生模型和教师模型的结构差异上。例如，Polino等。（2018）将网络量化与知识蒸馏相结合，即学生模型很小，是教师模型的量化版本。Nowak和Corso（2018）提出了一种结构压缩方法，该方法涉及将多层学习的知识转移到单层。Wang等。（2018a）逐步执行从教师网络到学生网络的块状知识转移，同时保留接受领域。在在线环境中，教师网络通常是学生网络的集合，其中学生模型彼此共享相似的结构（或相同的结构）。
此外，为了解决终身学习中的灾难性遗忘问题，全局蒸馏（Lee等人，2019b），基于知识蒸馏的终身GAN（Zhai等人，2019），多模型蒸馏（Zhou等人，2020） ）和其他基于KD的方法（Li and Hoiem，2017; Shmelkov et al。，2017）已经开发出来，以提取学习到的知识并在新任务上教给学生网络。
NAS蒸馏（NAS-Based Distillation）
神经体系结构搜索（NAS）是最流行的自动机器学习（或AutoML）技术之一，旨在自动识别深度神经模型并自适应地学习适当的深度神经结构。在知识蒸馏中，知识转移的成功不仅取决于老师的知识，还取决于学生的架构。但是，大型教师模型和小型学生模型之间可能存在能力差距，从而使学生难以向老师学习。为了解决这个问题，已经有工作采用 NAS 来找到 oracle-based 和 architecture-aware 的合适的学生架构实现知识蒸馏。此外，知识蒸馏被用于提高神经架构搜索的效率，例如，具有蒸馏架构知识的 NAS（AdaNAS）以及教师指导的架构搜索（TGSA）。在TGSA中，指导每个体系结构搜索步骤以模仿教师网络的中间特征表示，通过有效搜索学生的可能结构，老师可以有效地监督特征转移。
